4.56. Докажите тождество: \(\frac{1}{1-a}+\frac{1}{1+a}+\frac{2}{1+a^2}+\frac{4}{1+a^4}+\frac{8}{1+a^8}+\frac{16}{1+a^{16}}=\frac{32}{1-a^{32}}\).

Используем равенство \(\frac{1}{1-t}+\frac{1}{1+t}=\frac{2}{1-t^2}\). Первые два слагаемых дают \(\frac{2}{1-a^2}\), поэтому \(\frac{2}{1-a^2}+\frac{2}{1+a^2}=\frac{4}{1-a^4}\).

Далее последовательно применяем то же преобразование:

\(\frac{4}{1-a^4}+\frac{4}{1+a^4}=\frac{8}{1-a^8}\), затем \(\frac{8}{1-a^8}+\frac{8}{1+a^8}=\frac{16}{1-a^{16}}\), и наконец \(\frac{16}{1-a^{16}}+\frac{16}{1+a^{16}}=\frac{32}{1-a^{32}}\).

Это совпадает с правой частью; тождество доказано при допустимых значениях \(a\).