4.63. Сколько существует шестизначных чисел, содержащих: 1) ровно две шестёрки; 2) не более двух шестёрок; 3) хотя бы две шестёрки?

Первая цифра шестизначного числа не может быть нулём. Если цифра не равна 6, для неё есть 8 вариантов в первом разряде и 9 — в остальных разрядах.

1. Ровно две шестёрки: если первая цифра — 6, оставшуюся шестёрку размещаем в одном из пяти разрядов; если первая цифра не 6, выбираем два разряда из пяти:
   \(\binom51\cdot9^4+8\binom52\cdot9^3=91\,125\).
2. Не более двух шестёрок: складываем количества чисел с нулём, одной и двумя шестёрками:
   \(8\cdot9^5+(9^5+8\binom51\cdot9^4)+91\,125=885\,006\).
3. Всего шестизначных чисел — \(9\cdot10^5\). Вычитаем числа с нулём или одной шестёркой:
   \(900\,000-[8\cdot9^5+(9^5+8\binom51\cdot9^4)]=106\,119\).

Ответ: 1) 91 125; 2) 885 006; 3) 106 119.