4.64. В стае попугаев 10 красного окраса, 20 зеленого и 7 голубого. Сколькими способами можно рассадить птиц (возможно, не всех) так, чтобы они сидели в следующем порядке: красного окраса — зеленого — голубого?

Считаем попугаев различимыми. Пусть в ряд посадили \(r\) красных, \(g\) зелёных и \(b\) голубых. Для каждого цвета выбираем и упорядочиваем птиц: соответственно \(\frac{10!}{(10-r)!}\), \(\frac{20!}{(20-g)!}\), \(\frac{7!}{(7-b)!}\) способов. Цветовые группы располагаются в заданном порядке. Поскольку сказано «возможно, не всех», допускаем и нулевое число птиц любого цвета; пустую рассадку исключаем.

Суммируем по всем допустимым количествам:

\[\sum_{r=0}^{10}\sum_{g=0}^{20}\sum_{b=0}^{7}\frac{10!}{(10-r)!}\frac{20!}{(20-g)!}\frac{7!}{(7-b)!}-1.\]

Ответ: \(\displaystyle\left(\sum_{r=0}^{10}\frac{10!}{(10-r)!}\right)\left(\sum_{g=0}^{20}\frac{20!}{(20-g)!}\right)\left(\sum_{b=0}^{7}\frac{7!}{(7-b)!}\right)-1\).