4. AB и BC — отрезки касательных, проведённых из точки B к окружности с центром O. OB = 8, AO = 4. Чему равен ∠OBC?

Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Поэтому треугольник \(AOB\) прямоугольный, причём \(OB=8\) — гипотенуза, а \(AO=4\).

Пусть \(\angle ABO=\alpha\). Тогда \(\sin\alpha=AO/OB=4/8=1/2\), откуда \(\alpha=30^\circ\).

Касательные из одной точки равны, а радиусы равны, поэтому прямоугольные треугольники \(AOB\) и \(COB\) равны. Значит, \(\angle OBC=\angle ABO=30^\circ\).

Ответ: ∠OBC = 30°.