4. Чему может быть равен НОД(a; b), если: 1) a = 2n, b = 2n + 2; 2) a = 2n + 1, b = 2n + 3; 3) a = 2n + 1, b = 8n + 9?

НОД(2n, 2n + 2) = 2 · НОД(n, n + 1). Соседние целые числа взаимно просты, поэтому НОД(n, n + 1) = 1.

НОД(a, b) = 2.

Оба числа нечётные, а их разность равна 2. Их НОД делит 2 и при этом нечётный, следовательно, он равен 1.

НОД(a, b) = 1.

Общий делитель чисел 2n + 1 и 8n + 9 делит разность (8n + 9) − 4(2n + 1) = 5. Поэтому НОД может быть равен 1 или 5. Оба случая возможны: при n = 1 получаются числа 3 и 17, их НОД равен 1; при n = 2 получаются 5 и 25, их НОД равен 5.

НОД(a, b) = 1 или 5.