8. Наименьшее общее кратное некоторых двух натуральных чисел в 16 раз больше их наибольшего общего делителя. Докажите, что одно из этих чисел кратно другому.

Пусть числа равны a и b, а их НОД равен d. Тогда a = dx и b = dy, где НОД(x, y) = 1. Для взаимно простых x и y имеем НОК(a, b) = dxy.

По условию dxy = 16d, следовательно, xy = 16. Числа x и y взаимно просты. Единственное разложение 16 на два взаимно простых натуральных множителя — 1 · 16. Значит, одно из чисел x и y равно 1.

Тогда одно из исходных чисел равно d, а другое — 16d; следовательно, большее число кратно меньшему.