4. Дан правильный тетраэдр DABC с ребром a. При симметрии относительно плоскости ABC точка D перешла в точку D₁. Найдите DD₁. При симметрии относительно плоскости ABC плоскость ABC перешла в плоскость A₁B₁C₁. Найдите расстояние между этими плоскостями.

Высота правильного тетраэдра из D к плоскости ABC равна \(h=\sqrt{a^2-(a/\sqrt3)^2}=a\sqrt{2/3}\): проекция D — центр равностороннего треугольника ABC, расстояние от его центра до вершины равно \(a/\sqrt3\).

При отражении относительно плоскости ABC точка D переходит на такое же расстояние по другую сторону плоскости. Поэтому \(DD₁=2h=a\sqrt{8/3}\).

Отражение плоскости ABC относительно самой себя оставляет её на месте. Следовательно, указанная во второй части плоскость A₁B₁C₁ совпадает с ABC, и расстояние между ними равно 0.

Ответ: \(DD₁=a\sqrt{8/3}\); расстояние между плоскостями — 0.