Вариант А2, 3. В кубе ABCD A₁B₁C₁D₁ с ребром 1 точка O — центр грани ABCD. Используя метод координат, найдите: а) угол между прямыми A₁O и D₁C; б) расстояние от точки D до середины отрезка A₁C₁.

Question

Вопрос:

Accepted Answer

Выберем координаты: A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), C(1; 1; 0), D(0; 1; 0), A₁(0; 0; 1), C₁(1; 1; 1), D₁(0; 1; 1), O(1/2; 1/2; 0).

Направляющие векторы прямых: \(\overrightarrow{A_1O}=(1/2;1/2;-1)\), \(\overrightarrow{D_1C}=(1;0;-1)\). Тогда
\(\cos\varphi=\frac{|\overrightarrow{A_1O}\cdot\overrightarrow{D_1C}|}{|\overrightarrow{A_1O}||\overrightarrow{D_1C}|}=\frac{3/2}{\sqrt{3/2}\cdot\sqrt2}=\frac{\sqrt3}{2}\).
Следовательно, угол между прямыми равен 30°.
Середина отрезка A₁C₁: \(M(1/2;1/2;1)\). Поэтому
\(DM=\sqrt{(1/2-0)^2+(1/2-1)^2+(1-0)^2}=\sqrt{3/2}=\frac{\sqrt6}{2}\).

Ответ: а) 30°; б) \(\frac{\sqrt6}{2}\).