Дана плоскость 2x − y − 3z + 4 = 0. Запишите уравнение плоскости, которая проходит через начало координат: а) параллельно данной плоскости; б) перпендикулярно к данной плоскости и к плоскостям x = −y и x = z.

а) Нормаль данной плоскости — вектор (2; −1; −3). Параллельная плоскость имеет ту же нормаль, а поскольку проходит через начало координат, её свободный член равен нулю.

Ответ: 2x − y − 3z = 0.

б) Нормали плоскостей x = −y и x = z можно взять соответственно (1; 1; 0) и (1; 0; −1). Искомая нормаль должна быть перпендикулярна обеим этим нормалям. Их векторное произведение равно (−1; 1; −1), поэтому можно взять нормаль (1; −1; 1). Она также перпендикулярна нормали данной плоскости: (1; −1; 1) · (2; −1; −3) = 0. Через начало координат получаем:

Ответ: x − y + z = 0.