Вариант А1, 3. В кубе ABCD A₁B₁C₁D₁ с ребром 1 точка O — центр грани ABCD. Используя метод координат, найдите: а) угол между прямыми A₁D и B₁O; б) расстояние от точки B до середины отрезка A₁D.

Question

Вопрос:

Accepted Answer

Выберем координаты: A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), D(0; 1; 0), A₁(0; 0; 1), B₁(1; 0; 1), O(1/2; 1/2; 0).

Направляющие векторы прямых: \(\overrightarrow{A_1D}=(0;1;-1)\), \(\overrightarrow{B_1O}=(-1/2;1/2;-1)\). По формуле скалярного произведения:
\(\cos\varphi=\frac{|\overrightarrow{A_1D}\cdot\overrightarrow{B_1O}|}{|\overrightarrow{A_1D}||\overrightarrow{B_1O}|}=\frac{3/2}{\sqrt2\cdot\sqrt{3/2}}=\frac{\sqrt3}{2}\).
Следовательно, угол между прямыми равен 30°.
Середина отрезка A₁D: \(M(0;1/2;1/2)\). Тогда
\(BM=\sqrt{(0-1)^2+(1/2-0)^2+(1/2-0)^2}=\sqrt{3/2}=\frac{\sqrt6}{2}\).

Ответ: а) 30°; б) \(\frac{\sqrt6}{2}\).