4. Дано: AB ∥ A₁B₁, AC ∥ A₁C₁. Доказать: BC ∥ B₁C₁.

Прямые AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются с плоскостью α в точках A, B, C, а с параллельной ей плоскостью β — в точках A₁, B₁, C₁. По условию отрезки AB и A₁B₁ параллельны, как и AC и A₁C₁. Рассмотрим плоскость, проходящую через параллельные прямые AB и A₁B₁: её пересечения с α и β параллельны. Аналогично для плоскости через AC и A₁C₁. Соответствие точек при переходе между параллельными плоскостями является параллельным переносом; поэтому образом отрезка BC является B₁C₁, и эти отрезки параллельны.

Ответ: BC ∥ B₁C₁.