6. Дано: прямые a и b пересекаются в точке M. MA₁ = 3, MB₁ = 12; по рисунку MA = 6 и AB = 4. Найти: A₁B₁, MB и BB₁.

На рисунке точки A, A₁ лежат на одной прямой через M, а B, B₁ — на другой. Плоскости α и β параллельны, поэтому △MAB ∼ △MA₁B₁.

1. Коэффициент подобия от большого треугольника к малому: \(\frac{MA_1}{MA}=\frac{3}{6}=\frac12\).
2. Соответствующие стороны: \(\frac{A_1B_1}{AB}=\frac12\), значит \(A_1B_1=4\cdot\frac12=2\).
3. Из подобия \(\frac{MB_1}{MB}=\frac12\), следовательно, \(MB=12\cdot2=24\).
4. Точки M, B и B₁ расположены на одной прямой, причём B₁ находится между M и B. Поэтому \(BB_1=MB-MB_1=24-12=12\).

Ответ: A₁B₁ = 2, MB = 24, BB₁ = 12.