5. Дано: прямые a и b — скрещивающиеся прямые. Доказать: прямые AB и A₁B₁ — скрещивающиеся.

По рисунку точки A и A₁ лежат на прямой a, а B и B₁ — на прямой b; плоскости α и β параллельны. Прямые AB и A₁B₁ лежат соответственно в этих параллельных плоскостях. Если бы AB и A₁B₁ пересекались или совпадали, их общая точка принадлежала бы обеим параллельным плоскостям, что невозможно. Если бы они были параллельны, то в плоскости, проходящей через AB и A₁B₁, прямые a и b оказались бы компланарными: они пересекают эти параллельные прямые в соответствующих точках A, A₁ и B, B₁. Это противоречит условию, что a и b скрещиваются.

Ответ: прямые AB и A₁B₁ скрещиваются.