4 Диагностика 29 машин в таксопарке показала, что в 12 машинах нужно заменить тормозные колодки, а в 7 машинах — заменить воздушный фильтр (замена тормозных колодок и замена фильтра — независимые виды работ). Выберите верные утверждения и запишите в ответе их номера без пробелов, запятых или других дополнительных символов. 1) Не найдётся 9 машин, в которых нужно заменить и тормозные колодки, и фильтр. 2) Найдётся 9 машин, в которых не нужно менять ни тормозные колодки, ни фильтр. 3) Если в машине нужно заменить тормозные колодки, то и фильтр нужно заменить. 4) Найдётся 9 машин, в которых нужно заменить и тормозные колодки, и фильтр.

Решение:

Всего машин: 29.

Нужно заменить тормозные колодки (ТК): 12.

Нужно заменить воздушный фильтр (ВФ): 7.

1) Не найдётся 9 машин, в которых нужно заменить и тормозные колодки, и фильтр.

Чтобы найти минимальное количество машин, где нужно заменить и то, и другое, используем формулу: $$ N(\text{ТК} \cup \text{ВФ}) = N(\text{ТК}) + N(\text{ВФ}) - N(\text{ТК} \cap \text{ВФ}) $$. Максимальное число машин, где нужно заменить хотя бы что-то, равно 29.

$$ 29 \ge 12 + 7 - N(\text{ТК} \cap \text{ВФ}) $$

$$ 29 \ge 19 - N(\text{ТК} \cap \text{ВФ}) $$

$$ N(\text{ТК} \cap \text{ВФ}) \ge 19 - 29 $$ (это неверное рассуждение, т.к. $$ N(\text{ТК} \cap \text{ВФ}) $$ не может быть отрицательным).

Правильный подход:

Пусть $$x$$ — число машин, где нужно заменить и то, и другое.

Тогда:

• Машин, где нужно заменить только ТК: $$12 - x$$
• Машин, где нужно заменить только ВФ: $$7 - x$$
• Машин, где нужно заменить и то, и другое: $$x$$

Сумма всех этих машин не может превышать общего числа машин (29).

$$ (12 - x) + (7 - x) + x \le 29 $$

$$ 19 - x \le 29 $$

$$ -x \le 10 $$

$$ x \ge -10 $$ (это условие всегда выполняется, т.к. $$x$$ не может быть отрицательным).

Теперь найдем минимальное значение $$x$$. Из условия $$12 - x \ge 0$$ и $$7 - x \ge 0$$, следует $$x \le 12$$ и $$x \le 7$$. Значит, $$x \le 7$$.

Максимальное число машин, где нужно заменить и то, и другое, равно 7 (если все 7 машин, которым нужен новый фильтр, также нуждаются в замене колодок).

Минимальное число машин, где нужно заменить хотя бы что-то: $$12 + 7 - \text{max}(12, 7)$$ (если одно множество является подмножеством другого), или $$12+7 = 19$$ (если множества не пересекаются).

Рассмотрим утверждения:

1) Не найдётся 9 машин, в которых нужно заменить и тормозные колодки, и фильтр.

Мы знаем, что $$x$$ (кол-во машин, где нужно заменить и то, и другое) может быть от 0 до 7. Значит, утверждение, что НЕ найдётся 9 таких машин, ВЕРНО.

2) Найдётся 9 машин, в которых не нужно менять ни тормозные колодки, ни фильтр.

Пусть $$y$$ — количество машин, где ничего менять не нужно. Тогда $$ y = 29 - (\text{кол-во машин, где нужно заменить хотя бы что-то}) $$. Минимальное количество машин, где нужно заменить хотя бы что-то, равно 19 (если множества не пересекаются), максимальное — 19 (если нет машин, где нужно менять только ТК или только ВФ, но это не так).

Рассмотрим крайние случаи для $$x$$:

• Если $$x=0$$ (нет пересечений), то нужно менять ТК: 12, ВФ: 7. Всего нужно менять: $$12+7=19$$. Не нужно менять: $$29 - 19 = 10$$.
• Если $$x=7$$ (все, кому нужен ВФ, также нуждаются в ТК), то нужно менять только ТК: $$12-7=5$$. Нужен ВФ и ТК: 7. Всего нужно менять: $$5+7=12$$. Не нужно менять: $$29 - 12 = 17$$.

Значение $$x$$ (где нужно заменить и то, и другое) может быть от 0 до 7. Утверждение «Найдётся 9 машин, в которых не нужно менять ни тормозные колодки, ни фильтр» может быть истинным (например, в случае, когда $$x=0$$, таких машин 10). Поэтому это утверждение НЕ ВСЕГДА верно.

3) Если в машине нужно заменить тормозные колодки, то и фильтр нужно заменить.

Это неверно, так как из 12 машин, которым нужны колодки, только 7 могут нуждаться в фильтре. Остальные 5 могут нуждаться только в колодках.

4) Найдётся 9 машин, в которых нужно заменить и тормозные колодки, и фильтр.

Как мы выяснили, количество машин, где нужно заменить и то, и другое ($$x$$), может быть от 0 до 7. Значит, утверждение, что найдётся 9 таких машин, НЕВЕРНО.

Итого: Верно только утверждение 1.

Ответ: 1