4) \(\frac{ab-2b^2}{xy+y^2} \cdot \frac{5y+5x}{2b^2-ab}\)

Задание 4

Умножим дроби, предварительно разложив выражения на множители.

\( \frac{ab-2b^2}{xy+y^2} \cdot \frac{5y+5x}{2b^2-ab} = \frac{b(a-2b)}{y(x+y)} \cdot \frac{5(y+x)}{b(2b-a)} \)

Обрати внимание, что \( a-2b \) и \( 2b-a \) — это противоположные выражения. \( 2b-a = -(a-2b) \). Заменим \( 2b-a \) на \( -(a-2b) \) и \( b(2b-a) \) на \( -b(a-2b) \).

\( \frac{b(a-2b)}{y(x+y)} \cdot \frac{5(y+x)}{-b(a-2b)} = \frac{b(a-2b) \cdot 5(y+x)}{y(x+y) \cdot (-b(a-2b))} = \frac{5b(a-2b)(y+x)}{-by(x+y)(a-2b)} \)

Сокращаем одинаковые множители \( b \), \( (a-2b) \) и \( (y+x) \) (поскольку \( y+x = x+y \)):

\( \frac{5\cancel{b}\cancel{(a-2b)}\cancel{(y+x)}}{-\cancel{b}y\cancel{(x+y)}\cancel{(a-2b)}} = \frac{5}{-y} = -\frac{5}{y} \)

Ответ: \( -\frac{5}{y} \)