4. На доске написаны 10 единиц и 10 двоек. За ход разрешается стереть две любые цифры и, если они были одинаковыми, написать двойку, а если разными — единицу. Если последняя оставшаяся на доске цифра — единица, то выиграл первый игрок, если двойка — то второй. Кто выиграет при правильной игре? Ответ поясните.

Рассмотрим чётность суммы цифр на доске. Если стереть две одинаковые цифры, их сумма заменяется на 2: при паре 1 и 1 сумма не меняется, а при паре 2 и 2 уменьшается на 2. Если цифры разные, сумма 1 + 2 = 3 заменяется на 1 и также уменьшается на 2. Во всех случаях чётность общей суммы сохраняется.

Изначальная сумма равна \(10\cdot1+10\cdot2=30\), она чётная. Поэтому последняя цифра не может быть 1: она обязана быть 2. Игра закончится после 19 ходов, независимо от выбора ходов.

Ответ: при любой игре выигрывает второй игрок.