4. Найдите периметр трапеции ABCD: AB = CD = 12, ∠D = 60°, AC — биссектриса угла A.

Равные боковые стороны означают, что углы при основании AD равны: ∠A = ∠D = 60°. Горизонтальная проекция каждой боковой стороны равна 12 · cos 60° = 6, поэтому AD = BC + 12.

Поскольку AC — биссектриса угла A, угол CAD равен 30°. Высота трапеции равна 12 · sin 60° = 6√3. В прямоугольном треугольнике с углом CAD = 30° горизонтальная проекция AC на основание равна 6√3 / tan 30° = 18. Эта проекция равна 6 + BC, значит BC = 12 и AD = 24.

P = 12 + 12 + 12 + 24 = 60.

Ответ: 60.