4. Найдите значение выражения \( \left( \frac{1}{y} - \frac{1}{x + y} \right) \cdot \frac{x^2 - y^2}{x} \) при \( x = 1 \), \( y = -2 \).

Решение:

Сначала упростим выражение:

1. Приведём дробь в первой скобке к общему знаменателю:
2. \( \frac{1}{y} - \frac{1}{x + y} = \frac{x + y - y}{y(x + y)} = \frac{x}{y(x + y)} \)
3. Знаменатель второй дроби \( x^2 - y^2 \) можно разложить как разность квадратов: \( x^2 - y^2 = (x - y)(x + y) \)
4. Подставим упрощённые выражения обратно в исходное:
5. \( \frac{x}{y(x + y)} \cdot \frac{(x - y)(x + y)}{x} \)
6. Сократим \( x \) и \( (x + y) \):
7. \( \frac{1}{y} \cdot (x - y) = \frac{x - y}{y} \)
8. Теперь подставим данные значения \( x = 1 \) и \( y = -2 \):
9. \( \frac{1 - (-2)}{-2} = \frac{1 + 2}{-2} = \frac{3}{-2} = -1.5 \)

Ответ: -1,5.