6. Представьте выражение \( (-x^2 \cdot y^5)^4 \cdot (-3x^6 \cdot y^4)^3 : (-x^3 \cdot y^5)^5 \) в виде одночлена стандартного вида.

Решение:

Применим свойства степеней:

1. \( (-x^2 \cdot y^5)^4 = (-1)^4 \cdot (x^2)^4 \cdot (y^5)^4 = 1 \cdot x^{2 \cdot 4} \cdot y^{5 \cdot 4} = x^8 y^{20} \)
2. \( (-3x^6 \cdot y^4)^3 = (-3)^3 \cdot (x^6)^3 \cdot (y^4)^3 = -27 \cdot x^{6 \cdot 3} \cdot y^{4 \cdot 3} = -27 x^{18} y^{12} \)
3. \( (-x^3 \cdot y^5)^5 = (-1)^5 \cdot (x^3)^5 \cdot (y^5)^5 = -1 \cdot x^{3 \cdot 5} \cdot y^{5 \cdot 5} = -x^{15} y^{25} \)
4. Теперь перемножим первые два выражения и разделим на третье:
5. \( \frac{(x^8 y^{20}) \cdot (-27 x^{18} y^{12})}{-x^{15} y^{25}} \)
6. \( \frac{-27 \cdot x^{8+18} \cdot y^{20+12}}{-x^{15} y^{25}} \)
7. \( \frac{-27 \cdot x^{26} y^{32}}{-x^{15} y^{25}} \)
8. \( \frac{-27}{-1} \cdot x^{26-15} \cdot y^{32-25} \)
9. \( 27 x^{11} y^7 \)

Ответ: \( 27x^{11}y^7 \).