4. Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии: \(\frac{7}{8};\ \frac{1}{8};\ \frac{1}{56};\ldots\).

Найдём первый член и знаменатель:

\[b_1=\frac{7}{8},\qquad q=\frac{\frac{1}{8}}{\frac{7}{8}}=\frac{1}{7}.\]

Так как \(\left|q\right|<1\), применяем формулу суммы:

\[S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{\frac{7}{8}}{1-\frac{1}{7}}=\frac{7}{8}\cdot\frac{7}{6}=\frac{49}{48}.\]

Ответ: \(S=\frac{49}{48}\).