5. Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если \(b_2=-1,\ b_5=\frac{27}{125}\).

Используем формулу \(b_5=b_2q^3\):

\[\frac{27}{125}=-q^3,\qquad q^3=-\frac{27}{125},\qquad q=-\frac{3}{5}.\]

Найдём первый член:

\[b_1=\frac{b_2}{q}=\frac{-1}{-\frac{3}{5}}=\frac{5}{3}.\]

Так как \(\left|q\right|=\frac{3}{5}<1\), сумма существует:

\[S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{\frac{5}{3}}{1+\frac{3}{5}}=\frac{5}{3}\cdot\frac{5}{8}=\frac{25}{24}.\]

Ответ: \(S=\frac{25}{24}\).