4. Представьте дробь в виде суммы двух дробей, знаменатели которых являются двучленами первой степени: а) \(\frac{3x+3}{(x-1)(x+5)}\); б) \(\frac{2x-1}{x^2-x-6}\).

а) Ищем представление \(\frac{3x+3}{(x-1)(x+5)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+5}\). Тогда \(3x+3=A(x+5)+B(x-1)\).

При \(x=1\): \(6=6A\), значит, \(A=1\). При \(x=-5\): \(-12=-6B\), значит, \(B=2\).

Следовательно, \(\frac{3x+3}{(x-1)(x+5)}=\frac1{x-1}+\frac2{x+5}\), где \(x\ne1,-5\).

б) Разложим знаменатель: \(x^2-x-6=(x-3)(x+2)\). Ищем \(\frac{2x-1}{(x-3)(x+2)}=\frac{A}{x-3}+\frac{B}{x+2}\). Тогда \(2x-1=A(x+2)+B(x-3)\).

При \(x=3\): \(5=5A\), поэтому \(A=1\). При \(x=-2\): \(-5=-5B\), поэтому \(B=1\).

Следовательно, \(\frac{2x-1}{x^2-x-6}=\frac1{x-3}+\frac1{x+2}\), где \(x\ne3,-2\).