6. Выделите целую часть дроби и выясните, при каких натуральных значениях переменной $n$ дробь принимает натуральные значения: а) $\frac{4n^2+3n-5}{n}$; б) $\frac{4n^2+3n-5}{n-1}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 6. Выделите целую часть дроби и выясните, при каких натуральных значениях переменной $n$ дробь принимает натуральные…$ Фото задания

6. Выделите целую часть дроби и выясните, при каких натуральных значениях переменной $n$ дробь принимает натуральные значения: а) $\frac{4n^2+3n-5}{n}$; б) $\frac{4n^2+3n-5}{n-1}$.

Accepted Answer

а) Разделим каждый член числителя на $n$:

$\frac{4n^2+3n-5}{n}=4n+3-\frac5n$, где $n\ne0$.

При натуральном $n$ целая часть $4n+3$ натуральна. Дробь будет целой тогда и только тогда, когда $n$ делит 5: $n=1$ или $n=5$. В обоих случаях значение положительно и натурально.

б) Выразим числитель через знаменатель:

$4n^2+3n-5=(n-1)(4n+7)+2$, поэтому $\frac{4n^2+3n-5}{n-1}=4n+7+\frac2{n-1}$, где $n\ne1$.

Для натурального значения необходимо и достаточно, чтобы $n-1$ делило 2. При натуральном $n\ne1$ это даёт $n-1=1$ или $2$, то есть $n=2$ или $n=3$. Значения дроби равны соответственно 17 и 20.

6. Выделите целую часть дроби и выясните, при каких натуральных значениях переменной \(n\) дробь принимает натуральные значения: а) \(\frac{4n^2+3n-5}{n}\); б) \(\frac{4n^2+3n-5}{n-1}\).

Ответ: