4. Расстояние от города до поселка машина проходит за $$1 \frac{13}{16}$$ ч, а автобус за $$2 \frac{5}{12}$$ ч, при этом скорость автобуса на 19 км/ч меньше скорости машины. Найдите: а) расстояние от города до поселка; б) сколько процентов скорости машины составляет скорость автобуса; в) на сколько процентов скорость машины больше скорости автобуса. Результаты запишите в виде целых чисел или десятичных дробей, при необходимости округлите их до сотых.

Решение:

Обозначим:

• $$S$$ — расстояние от города до поселка (км).
• $$v_m$$ — скорость машины (км/ч).
• $$v_a$$ — скорость автобуса (км/ч).
• $$t_m = 1 \frac{13}{16}$$ ч — время машины.
• $$t_a = 2 \frac{5}{12}$$ ч — время автобуса.

1. Переведем время в неправильные дроби:

• $$t_m = 1 \frac{13}{16} = \frac{16+13}{16} = \frac{29}{16}$$ ч.
• $$t_a = 2 \frac{5}{12} = \frac{24+5}{12} = \frac{29}{12}$$ ч.

2. Связь между скоростью и временем:

• $$S = v_m \cdot t_m$$
• $$S = v_a \cdot t_a$$

Так как расстояние одинаковое, то $$v_m \cdot t_m = v_a \cdot t_a$$.

3. Используем условие о разнице скоростей:

• $$v_a = v_m - 19$$.

4. Подставим $$v_a$$ в уравнение равенства расстояний:

• $$v_m \cdot \frac{29}{16} = (v_m - 19) \cdot \frac{29}{12}$$

5. Решаем уравнение относительно $$v_m$$:

• Разделим обе части на 29: $$ \frac{v_m}{16} = \frac{v_m - 19}{12} $$
• Умножим крест-накрест: $$12v_m = 16(v_m - 19)$$
• $$12v_m = 16v_m - 16 \cdot 19$$
• $$12v_m = 16v_m - 304$$
• $$304 = 16v_m - 12v_m$$
• $$304 = 4v_m$$
• $$v_m = \frac{304}{4} = 76$$ км/ч.

6. Найдем скорость автобуса:

• $$v_a = v_m - 19 = 76 - 19 = 57$$ км/ч.

7. Найдем расстояние (пункт а):

• $$S = v_m \cdot t_m = 76 \cdot \frac{29}{16}$$
• $$S = \frac{76 \cdot 29}{16} = \frac{19 \cdot 29}{4} = \frac{551}{4} = 137,75$$ км.

8. Найдем, сколько процентов составляет скорость автобуса от скорости машины (пункт б):

• Процент = $$ \frac{v_a}{v_m} \cdot 100\% $$
• Процент = $$ \frac{57}{76} \cdot 100\% $$
• $$ \frac{57}{76} = \frac{3 \cdot 19}{4 \cdot 19} = \frac{3}{4} = 0,75 $$
• Процент = $$0,75 \cdot 100\% = 75\%$$.

9. Найдем, на сколько процентов скорость машины больше скорости автобуса (пункт в):

• Разница скоростей: $$v_m - v_a = 76 - 57 = 19$$ км/ч.
• Процент = $$ \frac{v_m - v_a}{v_a} \cdot 100\% $$
• Процент = $$ \frac{19}{57} \cdot 100\% $$
• $$ \frac{19}{57} = \frac{19}{3 \cdot 19} = \frac{1}{3} $$
• Процент = $$ \frac{1}{3} \cdot 100\% \approx 33,33\%$$.

Результаты:

а) Расстояние от города до поселка: $$137,75$$ км.

б) Скорость автобуса составляет $$75\%$$ от скорости машины.

в) Скорость машины больше скорости автобуса на $$33,33\%$$.