№4. Решите иррациональное уравнение \(\sqrt{x - 1} = x - 3\)

Решение:

1. Возведём обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:
\[ (\sqrt{x - 1})^2 = (x - 3)^2 \]\[ x - 1 = x^2 - 6x + 9 \]
2. Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
\[ x^2 - 6x - x + 9 + 1 = 0 \]\[ x^2 - 7x + 10 = 0 \]
3. Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
\[ D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 49 - 40 = 9 \]
4. Найдем корни:
\[ x_1 = \frac{-(-7) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{7 + 3}{2} = \frac{10}{2} = 5 \]\[ x_2 = \frac{-(-7) - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{7 - 3}{2} = \frac{4}{2} = 2 \]
5. Проверим корни, подставив их в исходное уравнение.
• Для \( x = 5 \): \(\sqrt{5 - 1} = \sqrt{4} = 2\) и \( 5 - 3 = 2 \). Так как \( 2 = 2 \), корень \( x = 5 \) подходит.
• Для \( x = 2 \): \(\sqrt{2 - 1} = \sqrt{1} = 1\) и \( 2 - 3 = -1 \). Так как \( 1 \neq -1 \), корень \( x = 2 \) не подходит.

Ответ: \( x = 5 \)