№8. Найдите объём треугольной пирамиды, если в её основании лежит правильный треугольник со стороной 2, а её высота - 12√3

Решение:

1. Объём пирамиды вычисляется по формуле: \( V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h \), где \( S_{осн} \) — площадь основания, а \( h \) — высота.
2. Основание — правильный треугольник со стороной \( a = 2 \). Площадь правильного треугольника находится по формуле: \( S_{осн} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \).
3. Подставим значение стороны \( a = 2 \) в формулу площади:
\[ S_{осн} = \frac{2^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{4 \sqrt{3}}{4} = \sqrt{3} \]
4. Теперь подставим площадь основания \( S_{осн} = \sqrt{3} \) и высоту \( h = 12\sqrt{3} \) в формулу объёма пирамиды:
\[ V = \frac{1}{3} \cdot \sqrt{3} \cdot 12\sqrt{3} \]\[ V = \frac{1}{3} \cdot 12 \cdot (\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}) \]\[ V = 4 \cdot 3 \]\[ V = 12 \]

Ответ: 12