7. Решить уравнения б)

Решение:

Дано уравнение: \( 3\sin^2 x + 2\sin x \cos x - \cos^2 x = 0 \).

Так как \( \cos^2 x = 0 \) при \( x = \frac{\pi}{2} + \pi n \), проверим, являются ли эти значения корнями.

Если \( x = \frac{\pi}{2} \), то \( \sin x = 1, \cos x = 0 \).

Подставляем: \( 3(1)^2 + 2(1)(0) - 0^2 = 3 \neq 0 \). Значит, \( \cos x \neq 0 \).

Разделим обе части уравнения на \( \cos^2 x \):

\( \frac{3\sin^2 x}{\cos^2 x} + \frac{2\sin x \cos x}{\cos^2 x} - \frac{\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0 \)

\( 3\operatorname{tg}^2 x + 2\operatorname{tg} x - 1 = 0 \)

Это квадратное уравнение относительно \( \operatorname{tg} x \). Сделаем замену: \( z = \operatorname{tg} x \).

\( 3z^2 + 2z - 1 = 0 \)

Найдём дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4(3)(-1) = 4 + 12 = 16 \).

Найдём корни \( z \):

\( z_1 = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2(3)} = \frac{-2 + 4}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \)

\( z_2 = \frac{-2 - \sqrt{16}}{2(3)} = \frac{-2 - 4}{6} = \frac{-6}{6} = -1 \)

Теперь вернёмся к замене \( z = \operatorname{tg} x \).

1. \( \operatorname{tg} x = \frac{1}{3} \)

\( x = \operatorname{arctg}(\frac{1}{3}) + \pi n \), где \( n \) — любое целое число.

2. \( \operatorname{tg} x = -1 \)

\( x = -\frac{\pi}{4} + \pi k \), где \( k \) — любое целое число.

Ответ: \( x = \operatorname{arctg}(\frac{1}{3}) + \pi n, x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, n, k \in \mathbb{Z} \)