4. Решите уравнение, обозначив одну из величин через $t$, а другую — через $\dfrac1t$: $\dfrac{x^2-4}{x}+\dfrac{x}{x^2-4}=3\dfrac13$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 4. Решите уравнение, обозначив одну из величин через $t$, а другую — через $\dfrac1t$:…$ Фото задания

4. Решите уравнение, обозначив одну из величин через $t$, а другую — через $\dfrac1t$: $\dfrac{x^2-4}{x}+\dfrac{x}{x^2-4}=3\dfrac13$.

Accepted Answer

Область определения: $x\ne0,-2,2$. Обозначим $t=\dfrac{x^2-4}{x}$. Тогда $\dfrac{x}{x^2-4}=\dfrac1t$, и уравнение принимает вид $t+\dfrac1t=\dfrac{10}{3}$.

Умножим на $3t$: $3t^2-10t+3=0$. Отсюда $t=3$ или $t=\dfrac13$.

При $t=3$: $\dfrac{x^2-4}{x}=3$, поэтому $x^2-3x-4=0$, откуда $x=4,-1$.

При $t=\dfrac13$: $\dfrac{x^2-4}{x}=\dfrac13$, поэтому $3x^2-x-12=0$, откуда $x=\dfrac{1\pm\sqrt{145}}{6}$. Все найденные значения удовлетворяют области определения.

Ответ: $x=4,-1,\dfrac{1+\sqrt{145}}6,\dfrac{1-\sqrt{145}}6$.

4. Решите уравнение, обозначив одну из величин через \(t\), а другую — через \(\dfrac1t\): \(\dfrac{x^2-4}{x}+\dfrac{x}{x^2-4}=3\dfrac13\).

Ответ: