5. Решите уравнение, используя введение новой переменной: $\dfrac{x^2+6}{x}-\dfrac{5x}{x^2+6}=4$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 5. Решите уравнение, используя введение новой переменной: $\dfrac{x^2+6}{x}-\dfrac{5x}{x^2+6}=4$.$ Фото задания

Accepted Answer

Область определения: $x\ne0$. Введём $t=\dfrac{x^2+6}{x}=x+\dfrac6x$. Тогда $\dfrac{5x}{x^2+6}=\dfrac5t$, и получаем $t-\dfrac5t=4$.

Умножим на $t$ (при действительных $x\ne0$ величина $t$ не равна нулю): $t^2-4t-5=0$. Следовательно, $t=5$ или $t=-1$.

Если $t=5$, то $x+\dfrac6x=5$, откуда $x^2-5x+6=0$, то есть $x=2,3$.

Если $t=-1$, то $x+\dfrac6x=-1$, откуда $x^2+x+6=0$. Дискриминант отрицателен, действительных корней нет.

Ответ: $x=2,3$.

5. Решите уравнение, используя введение новой переменной: \(\dfrac{x^2+6}{x}-\dfrac{5x}{x^2+6}=4\).