7. Найдите корни уравнения \(3\left(x^2+\dfrac1{x^2}\right)+7\left(x+\dfrac1x\right)=4\).

Область определения: \(x\ne0\). Введём \(t=x+\dfrac1x\). Тогда \(x^2+\dfrac1{x^2}=t^2-2\).

Подставим: \(3(t^2-2)+7t=4\), откуда \(3t^2+7t-10=0\). Корни: \(t=1\) и \(t=-\dfrac{10}{3}\).

Для действительных \(x\ne0\) выполняется \(x+\dfrac1x\ge2\) или \(x+\dfrac1x\le-2\). Значение \(t=1\) невозможно. При \(t=-\dfrac{10}{3}\): \(x+\dfrac1x=-\dfrac{10}{3}\), поэтому \(3x^2+10x+3=0\). Отсюда \(x=-3\) или \(x=-\dfrac13\).

Ответ: \(x=-3,-\dfrac13\).