4. \(\sqrt3\ctg x+1=0\)

Переносим 1 и делим на \(\sqrt3\): \(\ctg x=-\frac{1}{\sqrt3}\). Это равносильно \( g x=-\sqrt3\), поэтому \(x=-\frac{\pi}{3}+\pi k\), где \(k\in\mathbb Z\).

Ответ: \(x=-\frac{\pi}{3}+\pi k\), \(k\in\mathbb Z\).