4. Стороны основания правильной треугольной пирамиды равны 10, а боковые ребра равны 13. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Решение:

Правильная треугольная пирамида имеет в основании равносторонний треугольник. Боковая поверхность состоит из трёх равных равнобедренных треугольников.

1. Найдём апофему (высоту боковой грани) пол. Пусть \( k \) — апофема. В равнобедренном треугольнике боковое ребро \( l = 13 \), а основание стороны \( a = 10 \). Половина стороны основания равна \( \frac{a}{2} = \frac{10}{2} = 5 \).
2. По теореме Пифагора: \( k^2 + (\frac{a}{2})^2 = l^2 \)
3. \( k^2 + 5^2 = 13^2 \)
4. \( k^2 + 25 = 169 \)
5. \( k^2 = 169 - 25 = 144 \)
6. \( k = \sqrt{144} = 12 \) (апофема)
7. Найдём площадь одной боковой грани: \( S_{грани} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot k = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12 = 60 \).
8. Найдём площадь боковой поверхности пирамиды: \( S_{бок} = 3 \cdot S_{грани} = 3 \cdot 60 = 180 \).

Ответ: 180.