6. В прямоугольной трапеции основания 3 и 5, а один из углов 135°. Найдите меньшую боковую сторону трапеции.

Решение:

В прямоугольной трапеции один из углов прямой (90°), а другой непрямой угол смежный с ним. Если один из углов равен 135°, то другой угол при боковой стороне, не являющейся высотой, равен \( 180^{\circ} - 135^{\circ} = 45^{\circ} \). Меньшая боковая сторона — это высота трапеции.

1. Пусть основания трапеции \( a = 3 \) (меньшее) и \( b = 5 \) (большее).
2. Пусть \( h \) — высота трапеции, которая является и меньшей боковой стороной.
3. Проведём высоту из вершины меньшего основания к большему основанию. Получим прямоугольный треугольник.
4. Один катет этого треугольника — высота \( h \), другой катет — отрезок на большем основании, равный разности оснований: \( b - a = 5 - 3 = 2 \).
5. Угол при основании, прилежащий к этому отрезку, равен \( 45^{\circ} \) (так как второй угол при той же боковой стороне равен \( 135^{\circ} \)).
6. В прямоугольном треугольнике, если один острый угол равен \( 45^{\circ} \), то другой острый угол равен \( 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ} \).
7. Следовательно, этот треугольник равнобедренный, и его катеты равны.
8. Таким образом, высота \( h \) равна отрезку на большем основании, то есть \( h = 2 \).

Ответ: 2.