4. Точка движется по закону \(S(t) = 5t^2 - 4t + 12\). Найти скорость и ускорение в момент времени \(t = 2c\).

Решение:

1. Скорость \(v(t)\) — это первая производная от пути \(S(t)\) по времени \(t\): \(v(t) = S'(t)\).
2. Найдем производную: \(v(t) = \frac{d}{dt}(5t^2 - 4t + 12) = 10t - 4\).
3. Найдем скорость в момент времени \(t = 2\): \(v(2) = 10 \cdot 2 - 4 = 20 - 4 = 16\) (единиц расстояния в единицу времени).
4. Ускорение \(a(t)\) — это первая производная от скорости \(v(t)\) по времени \(t\) (или вторая производная от пути): \(a(t) = v'(t) = S''(t)\).
5. Найдем производную от скорости: \(a(t) = \frac{d}{dt}(10t - 4) = 10\).
6. Ускорение постоянно и равно \(10\) (единиц расстояния в единицу времени в квадрате) для любого момента времени, в том числе при \(t = 2\).

Ответ: Скорость равна 16, ускорение равно 10.