8. Найти интегралы: a) \(\int 9x^4 dx\) б) \(\int_{2}^{5} (5x^2-6x+1)dx\)

Решение:

а) \(\int 9x^4 dx\)

1. Используем правило интегрирования степенной функции \(\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\).
2. \(\int 9x^4 dx = 9 \int x^4 dx = 9 \cdot \frac{x^{4+1}}{4+1} + C = 9 \cdot \frac{x^5}{5} + C = \frac{9}{5}x^5 + C\).

б) \(\int_{2}^{5} (5x^2-6x+1)dx\)

1. Сначала найдем неопределенный интеграл: \(\int (5x^2-6x+1)dx = 5\int x^2 dx - 6\int x dx + \int 1 dx\).
2. \(5 \cdot \frac{x^3}{3} - 6 \cdot \frac{x^2}{2} + x + C = \frac{5}{3}x^3 - 3x^2 + x + C\).
3. Теперь вычислим определенный интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница \(\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)\), где \(F(x)\) — первообразная.
4. \(\left[ \frac{5}{3}x^3 - 3x^2 + x \right]_2^5 = \left( \frac{5}{3}(5)^3 - 3(5)^2 + 5 \right) - \left( \frac{5}{3}(2)^3 - 3(2)^2 + 2 \right)\)
5. \(= \left( \frac{5}{3}(125) - 3(25) + 5 \right) - \left( \frac{5}{3}(8) - 3(4) + 2 \right)\)
6. \(= \left( \frac{625}{3} - 75 + 5 \right) - \left( \frac{40}{3} - 12 + 2 \right)\)
7. \(= \left( \frac{625}{3} - 70 \right) - \left( \frac{40}{3} - 10 \right)\)
8. \(= \frac{625}{3} - \frac{210}{3} - \frac{40}{3} + \frac{30}{3}\)
9. \(= \frac{625 - 210 - 40 + 30}{3} = \frac{405}{3} = 135\).

Ответ: а) \(\frac{9}{5}x^5 + C\); б) 135.