7. Вычислить: 1) \(9^6 \cdot 9^{-2} : 9^5\) 2) \(\left(\frac{64}{27}\right)^{-\frac{1}{3}}\) 3) \(\log_{3}4 + \log_{3}2\)

Решение:

1) \(9^6 \cdot 9^{-2} : 9^5\)

1. Используем свойства степеней \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\) и \(a^m : a^n = a^{m-n}\).
2. \(9^6 \cdot 9^{-2} = 9^{6+(-2)} = 9^4\).
3. \(9^4 : 9^5 = 9^{4-5} = 9^{-1}\).
4. \(9^{-1} = \frac{1}{9}\).

2) \(\left(\frac{64}{27}\right)^{-\frac{1}{3}}\)

1. Используем свойство степени \(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\): \(\left(\frac{64}{27}\right)^{-\frac{1}{3}} = \frac{1}{\left(\frac{64}{27}\right)^{\frac{1}{3}}}\).
2. Используем свойство \(\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}\) и \(a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}\): \(\frac{1}{\left(\frac{64}{27}\right)^{\frac{1}{3}}} = \frac{1}{\frac{\sqrt[3]{64}}{\sqrt[3]{27}}} = \frac{1}{\frac{4}{3}} = \frac{3}{4}\).

3) \(\log_{3}4 + \log_{3}2\)

1. Используем свойство логарифмов \(\log_b M + \log_b N = \log_b (M
   N)\).
2. \(\log_{3}4 + \log_{3}2 = \log_{3}(4
   2) = \log_{3}8\).
3. Так как \(3^1 = 3\) и \(3^2 = 9\), то \(\log_{3}8\) не является целым числом. Ответ оставляем в таком виде или приближенно. Если предположить, что была опечатка и имелось в виду \(\log_3 9\), то ответ был бы 2. Если \(\log_3 8\), то ответ \(\log_3 8\).

Ответ: 1) \(\frac{1}{9}\); 2) \(\frac{3}{4}\); 3) \(\log_{3}8\).