4. Упростить выражение: а) √m/(∜m · ∛m); б) ⁷√(128z³/∛(z¹²)); в) ⁴√(80a⁶b⁶) · ⁴√(1/5 a⁴b¹⁰).

а) Для действительных корней требуется \(m>0\), поскольку корень четвёртой степени стоит в знаменателе. Используем степени: \(\frac{m^{1/2}}{m^{1/4}m^{1/3}}=m^{1/2-1/4-1/3}=m^{-1/12}=\frac{1}{\sqrt[12]{m}}.\)

б) \(\sqrt[3]{z^{12}}=z^4\), поэтому подкоренное выражение равно \(128z^3/z^4=128/z\) (при \(z\ne0\)). Для действительного корня нечётной степени получаем \(\sqrt[7]{128/z}=\frac{2\sqrt[7]{z}}{z}\), так как \(128=2^7\) и \(\sqrt[7]{1/z}=1/\sqrt[7]{z}\).

в) Объединяем корни одинаковой степени: \(\sqrt[4]{80a^6b^6\cdot\frac15a^4b^{10}}=\sqrt[4]{16a^{10}b^{16}}=2|a^2|\sqrt[4]{a^2}\,b^4=2a^2b^4\sqrt{|a|}.\)

Ответ: а) \(1/\sqrt[12]{m}\); б) \(2\sqrt[7]{z}/z\), \(z\ne0\); в) \(2a^2b^4\sqrt{|a|}\).