4. В прямоугольнике диагональ равна 10, а угол между ней и одной из сторон равен 30°. Найдите площадь прямоугольника, деленную на √3.

Задание 4. Площадь прямоугольника

Дано:

• Прямоугольник ABCD.
• Диагональ d = 10.
• Угол между диагональю и стороной = 30°.

Найти: Площадь прямоугольника (S), деленную на \( \sqrt{3} \).

Решение:

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный диагональю и двумя сторонами прямоугольника. Пусть диагональ AC = 10, а угол между диагональю AC и стороной AB равен 30°.
2. В этом треугольнике (например, ABC), угол ∠ABC = 90°.
3. Сторона AB является прилежащим катетом к углу 30°, а сторона BC — противолежащим.
4. Используем тригонометрические соотношения:
• AB (прилежащий катет) = AC * cos(30°) = 10 * \( \frac{\sqrt{3}}{2} \) = 5\( \sqrt{3} \).
• BC (противолежащий катет) = AC * sin(30°) = 10 * \( \frac{1}{2} \) = 5.
5. Площадь прямоугольника равна произведению его сторон:
$$S = AB \cdot BC$$$$S = 5\sqrt{3} \cdot 5 = 25\sqrt{3}$$
6. Теперь разделим площадь на \( \sqrt{3} \):
$$\frac{S}{\sqrt{3}} = \frac{25\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 25$$

Ответ: Площадь прямоугольника, деленная на √3, равна 25.