4. В прямоугольнике диагональ равна 10, а угол между ней и одной из сторон равен 30°. Найдите площадь прямоугольника, деленную на √3.

Задание 4. Площадь прямоугольника

Дано:

• Прямоугольник \( ABCD \)
• Диагональ \( AC = 10 \)
• Угол между диагональю и стороной, например \( \angle CAD = 30^{\circ} \)

Найти: Площадь прямоугольника \( S \), деленную на \( \sqrt{3} \).

Решение:

В прямоугольнике все углы прямые. Рассмотрим прямоугольный треугольник \( ADC \). В нем:

• Гипотенуза \( AC = 10 \)
• Угол \( \angle CAD = 30^{\circ} \)

Найдем катеты этого треугольника:

1. Сторона \( CD \) (это одна из сторон прямоугольника): \( CD = AC \cdot \sin(\angle CAD) = 10 \cdot \sin(30^{\circ}) = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5 \).
2. Сторона \( AD \) (это другая сторона прямоугольника): \( AD = AC \cdot \cos(\angle CAD) = 10 \cdot \cos(30^{\circ}) = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} \).

Теперь найдем площадь прямоугольника \( S = AD \cdot CD \):

\[ S = 5\sqrt{3} \cdot 5 = 25\sqrt{3} \]

По условию задачи нужно найти площадь, деленную на \( \sqrt{3} \):

\[ \frac{S}{\sqrt{3}} = \frac{25\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 25 \]

Ответ: 25