Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
Задание 5. Основание равнобедренной трапеции
Дано:
- Равнобедренная трапеция \( ABCD \)
- Высота \( CH \) из \( C \) на \( AD \)
- \( AH = 11 \), \( HD = 14 \) (или наоборот)
Найти: длину основания \( BC \).
Решение:
В равнобедренной трапеции основания параллельны, а боковые стороны равны. Проведем высоту \( CH \) из вершины \( C \) на основание \( AD \). Так как трапеция равнобедренная, то из вершины \( B \) можно провести аналогичную высоту \( BK \) на \( AD \).
Эти высоты разделят большее основание \( AD \) на три отрезка: \( AH \), \( HK \) и \( KD \).
В равнобедренной трапеции отрезки от вершин боковых сторон до оснований высот равны: \( AH = KD \).
Также, отрезок \( HK \) равен меньшему основанию \( BC \), то есть \( HK = BC \).
Мы знаем, что \( AD = AH + HD \) (если \( H \) лежит между \( A \) и \( D \)).
Из рисунка видно, что \( AD = AH + HK + KD \).
Поскольку \( AH = KD \), то \( AD = 2 \times AH + HK \).
Подставим известные значения: \( AD = 11 + 14 = 25 \).
Таким образом, \( 25 = 2 \times 11 + HK \) или \( 25 = 2 \times 14 + HK \).
Рассмотрим случай, когда \( AH = 11 \) и \( HD = 14 \). Тогда \( AD = 11 + 14 = 25 \).
Из свойств равнобедренной трапеции, \( AH = KD = 11 \).
Тогда \( AD = AH + HK + KD \) => \( 25 = 11 + HK + 11 \) => \( 25 = 22 + HK \) => \( HK = 3 \).
Поскольку \( BC = HK \), то \( BC = 3 \).
Если бы \( AH = 14 \) и \( HD = 11 \), то \( AD = 14 + 11 = 25 \).
Тогда \( AH = KD = 11 \) (меньший из отрезков, который образует прямоугольник с высотой).
В этом случае \( AD = AH + HK + KD \) => \( 25 = 11 + HK + 11 \) => \( HK = 3 \). Это противоречит тому, что \( AH = 14 \).
Поэтому, верным является первый случай, когда меньший отрезок (11) является частью, где из вершины трапеции опущен перпендикуляр, а больший отрезок (14) — это вся оставшаяся часть основания. В равнобедренной трапеции из вершин боковых сторон опускаются перпендикуляры, которые отсекают равные отрезки от большего основания. То есть, если \( AD \) - большее основание, то \( AH = KD \). Если \( C \) и \( D \) — вершины, а \( CH \) — высота, то \( HD=14 \) и \( AH=11 \). В этом случае \( KD \) будет равен \( AH \), то есть \( KD = 11 \). Тогда \( AD = AH + HK + KD = 11 + HK + 11 = 25 \). Отсюда \( HK = 25 - 22 = 3 \). Основание \( BC \) равно \( HK \).
Ответ: 3
