7. Отрезки АС и BD — диаметры окружности с центром О. Угол АСВ равен 23°. Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах.

Задание 7. Угол между диаметрами

Дано:

• Окружность с центром \( O \)
• \( AC \) и \( BD \) — диаметры
• \( \angle ACB = 23^{\circ} \)

Найти: угол \( \angle AOD \).

Решение:

1. Угол \( \angle ACB \) — вписанный угол, опирающийся на дугу \( AB \). Центральный угол, опирающийся на ту же дугу, равен \( \angle AOB \). Связь между ними:

\[ \angle AOB = 2 \cdot \angle ACB \]\[ \angle AOB = 2 \cdot 23^{\circ} = 46^{\circ} \]

2. Углы \( \angle AOB \) и \( \angle AOD \) являются смежными, если точки \( B, O, D \) лежат на одной прямой (что верно, так как \( BD \) — диаметр). Нет, они не являются смежными. Углы \( \angle AOB \) и \( \angle COD \) — вертикальные. Углы \( \angle AOD \) и \( \angle BOC \) — вертикальные. Углы \( \angle AOB \) и \( \angle AOD \) — смежные, если \( B, O, D \) лежат на одной прямой, и \( A, O, C \) лежат на одной прямой. Это верно, так как \( AC \) и \( BD \) — диаметры.

3. Углы \( \angle AOB \) и \( \angle AOD \) являются смежными, если они образуют развернутый угол. В нашем случае \( BD \) — диаметр, проходящий через \( O \), и \( AC \) — диаметр, проходящий через \( O \). Угол \( \angle AOD \) и угол \( \angle COD \) являются смежными.

4. Вернемся к \( \angle AOB \). Углы \( \angle AOB \) и \( \angle COD \) — вертикальные, значит, \( \angle COD = \angle AOB = 46^{\circ} \).

5. Углы \( \angle AOD \) и \( \angle BOC \) — вертикальные. Также, \( \angle AOD \) и \( \angle COD \) — смежные, их сумма равна \( 180^{\circ} \).

\[ \angle AOD + \angle COD = 180^{\circ} \]\[ \angle AOD + 46^{\circ} = 180^{\circ} \]\[ \angle AOD = 180^{\circ} - 46^{\circ} = 134^{\circ} \]

Ответ: 134