8. Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 54°, угол CAD равен 41°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

Задание 8. Угол вписанного четырехугольника

Дано:

• Четырехугольник ABCD вписан в окружность.
• ∠ABC = 54°.
• ∠CAD = 41°.

Найти: Угол ∠ABD.

Решение:

1. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
2. Угол ∠ABC вписан и опирается на дугу ADC.
3. Угол ∠ADC также является вписанным и опирается на дугу ABC.
4. Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна 180°.
5. Следовательно, ∠ADC = 180° - ∠ABC = 180° - 54° = 126°.
6. Угол ∠ADC состоит из углов ∠ADB и ∠BDC.
7. Угол ∠CAD = 41° вписан и опирается на дугу CD.
8. Угол ∠CBD также вписан и опирается на ту же дугу CD.
9. Следовательно, ∠CBD = ∠CAD = 41°.
10. Теперь рассмотрим угол ∠ADC = 126°. Он состоит из ∠ADB и ∠BDC.
11. Угол ∠ABC = 54°. Он состоит из ∠ABD и ∠CBD.
12. Мы знаем, что ∠ABC = ∠ABD + ∠CBD.
13. 54° = ∠ABD + 41°
14. ∠ABD = 54° - 41° = 13°.

Ответ: Угол ABD равен 13 градусам.