4. Вычислите: а) \( 6^{15} \cdot 6^{11} / 6^{24} \); б) \( (5^3)^{316} / 9 \cdot 225^7 \)

Решение:

а) \( \frac{6^{15} \cdot 6^{11}}{6^{24}} \)

1. При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются: \( 6^{15} \cdot 6^{11} = 6^{15+11} = 6^{26} \).
2. При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются: \( \frac{6^{26}}{6^{24}} = 6^{26-24} = 6^2 \).
3. Вычислим: \( 6^2 = 36 \).

б) \( \frac{(5^3)^{316}}{9} \cdot 225^7 \)

1. Возведём степень в степень, умножив показатели: \( (5^3)^{316} = 5^{3 \cdot 316} = 5^{948} \).
2. Представим \( 225 \) как степень числа \( 5 \) или \( 3 \): \( 225 = 15^2 = (3 \cdot 5)^2 = 3^2 \cdot 5^2 \).
3. Тогда \( 225^7 = (3^2 \cdot 5^2)^7 = (3^2)^7 \cdot (5^2)^7 = 3^{14} \cdot 5^{14} \).
4. Подставим в исходное выражение: \( \frac{5^{948}}{3^2} \cdot (3^{14} \cdot 5^{14}) \).
5. Перегруппируем: \( \frac{5^{948} \cdot 5^{14} \cdot 3^{14}}{3^2} \).
6. Сложим показатели степеней с основанием \( 5 \): \( 5^{948+14} = 5^{962} \).
7. Разделим степени с основанием \( 3 \): \( \frac{3^{14}}{3^2} = 3^{14-2} = 3^{12} \).
8. Итоговое выражение: \( 5^{962} \cdot 3^{12} \).

Ответ: а) 36; б) \( 5^{962} \cdot 3^{12} \).