4. Вычислите \( \int_{1}^{2} (3x^2) dx \).

Решение:

Для вычисления определенного интеграла сначала найдем первообразную функции \( f(x) = 3x^2 \).

\[ F(x) = \int 3x^2 dx = 3 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} = 3 \cdot \frac{x^3}{3} = x^3 \]

Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница:

\[ \int_{1}^{2} (3x^2) dx = F(2) - F(1) \]

\[ F(2) = 2^3 = 8 \]

\[ F(1) = 1^3 = 1 \]

\[ \int_{1}^{2} (3x^2) dx = 8 - 1 = 7 \]

Ответ: 7.