6. Площадь под \( y = \sqrt{2x} \) от 0 до 2.

Решение:

Площадь под кривой \( y = \sqrt{2x} \) на отрезке \( [0, 2] \) вычисляется как определенный интеграл:

\[ S = \int_{0}^{2} \sqrt{2x} dx \]

Перепишем подкоренное выражение:

\[ S = \int_{0}^{2} \sqrt{2} \sqrt{x} dx = \sqrt{2} \int_{0}^{2} x^{1/2} dx \]

Найдем первообразную для \( x^{1/2} \):

\[ \int x^{1/2} dx = \frac{x^{1/2+1}}{1/2+1} = \frac{x^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3} x^{3/2} \]

Теперь вычислим определенный интеграл:

\[ S = \sqrt{2} \left[ \frac{2}{3} x^{3/2} \right]_{0}^{2} = \sqrt{2} \left( \frac{2}{3} (2)^{3/2} - \frac{2}{3} (0)^{3/2} \right) \]

\[ S = \sqrt{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot 2 \sqrt{2} \]

\[ S = \frac{2}{3} \cdot 2 \cdot 2 = \frac{8}{3} \]

Ответ: \( \frac{8}{3} \).