7. Вычислите \( \int_{0}^{\pi} (e^x - x) dx \).

Решение:

Для вычисления определенного интеграла найдем первообразную функции \( f(x) = e^x - x \).

\[ F(x) = \int (e^x - x) dx = \int e^x dx - \int x dx \]

\[ F(x) = e^x - \frac{x^2}{2} \]

Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница:

\[ \int_{0}^{\pi} (e^x - x) dx = F(\pi) - F(0) \]

\[ F(\pi) = e^{\pi} - \frac{\pi^2}{2} \]

\[ F(0) = e^{0} - \frac{0^2}{2} = 1 - 0 = 1 \]

\[ \int_{0}^{\pi} (e^x - x) dx = \left( e^{\pi} - \frac{\pi^2}{2} \right) - 1 \]

Ответ: \( e^{\pi} - \frac{\pi^2}{2} - 1 \).