4) y = 4√2x + 7

Решение:

Применим правило дифференцирования для корня и сложной функции.

1. Функция может быть записана как \( y = 4(2x + 7)^{1/2} \).
2. Пусть \( u = 2x + 7 \). Тогда \( y = 4u^{1/2} \).
3. Находим производную \( y \) по \( u \): \( \frac{dy}{du} = 4 \cdot \frac{1}{2}u^{-1/2} = 2u^{-1/2} = \frac{2}{\sqrt{u}} \).
4. Находим производную \( u \) по \( x \): \( \frac{du}{dx} = 2 \).
5. Подставляем в формулу: \( \frac{dy}{dx} = \frac{2}{\sqrt{u}} \cdot 2 = \frac{4}{\sqrt{u}} \).
6. Заменяем \( u \) обратно на \( 2x + 7 \): \( \frac{4}{\sqrt{2x + 7}} \).

Ответ: \( \frac{4}{\sqrt{2x + 7}} \).