8) y = 8sin⁴(4x + π/2)

Решение:

Применим правило дифференцирования сложной функции. Сначала представим \( \sin^4(u) \) как \( (\sin(u))^4 \).

1. Пусть \( v = 4x + \frac{\pi}{2} \). Тогда \( y = 8(\sin(v))^4 \).
2. Пусть \( u = \sin(v) \). Тогда \( y = 8u^4 \).
3. Находим производную \( y \) по \( u \): \( \frac{dy}{du} = 32u^3 \).
4. Находим производную \( u \) по \( v \): \( \frac{du}{dv} = \cos(v) \).
5. Находим производную \( v \) по \( x \): \( \frac{dv}{dx} = 4 \).
6. Собираем всё вместе: \( \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dv} \cdot \frac{dv}{dx} = 32u^3 \cdot \cos(v) \cdot 4 = 128u^3\cos(v) \).
7. Заменяем \( u \) на \( \sin(v) \): \( 128\sin^3(v)\cos(v) \).
8. Заменяем \( v \) на \( 4x + \frac{\pi}{2} \): \( 128\sin^3(4x + \frac{\pi}{2})\cos(4x + \frac{\pi}{2}) \).
9. Используя тригонометрические тождества \( \sin(a + \frac{\pi}{2}) = \cos(a) \) и \( \cos(a + \frac{\pi}{2}) = -\sin(a) \), получаем: \( 128\cos^3(4x)(-\sin(4x)) = -128\cos^3(4x)\sin(4x) \).

Ответ: \( -128\cos^3(4x)\sin(4x) \).