7) y = 3ctg(x/6 + π/3)

Решение:

Применим правило дифференцирования сложной функции.

1. Пусть \( u = \frac{x}{6} + \frac{\pi}{3} \). Тогда \( y = 3\ctg(u) \).
2. Находим производную \( y \) по \( u \): \( \frac{dy}{du} = -3\csc^2(u) \).
3. Находим производную \( u \) по \( x \): \( \frac{du}{dx} = \frac{1}{6} \).
4. Подставляем в формулу: \( \frac{dy}{dx} = -3\csc^2(u) \cdot \frac{1}{6} = -\frac{1}{2}\csc^2(u) \).
5. Заменяем \( u \) обратно на \( \frac{x}{6} + \frac{\pi}{3} \): \( -\frac{1}{2}\csc^2(\frac{x}{6} + \frac{\pi}{3}) \).

Ответ: \( -\frac{1}{2}\csc^2(\frac{x}{6} + \frac{\pi}{3}) \).