4. \(y=x^2+2x+2,\ y=-4x-7,\ x=0\).

Парабола и прямая пересекаются при \(x^2+6x+9=0\), то есть при \(x=-3\). Вместе с прямой \(x=0\) они ограничивают область на отрезке \([-3,0]\). Парабола выше прямой.

\[S=\int_{-3}^{0}\bigl((x^2+2x+2)-(-4x-7)\bigr)\,dx=\int_{-3}^{0}(x+3)^2\,dx=9.\]

Ответ: 9.