40.12. Решите уравнения: а) $27^{\sqrt{x-1}}=\sqrt{9^{x+1}}$; б) $2^{\sqrt{13-x^2}}=\sqrt2\cdot\sqrt{32}$; в) $3^x\cdot(\frac13)^{\sqrt{x+1}}=243$; г) $(0{,}1^{\sqrt{x+1}})^{\sqrt{x+6}}=\frac1{10^6}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 40.12. Решите уравнения: а) $27^{\sqrt{x-1}}=\sqrt{9^{x+1}}$; б) $2^{\sqrt{13-x^2}}=\sqrt2\cdot\sqrt{32}$; в)…$ Фото задания

40.12. Решите уравнения: а) $27^{\sqrt{x-1}}=\sqrt{9^{x+1}}$; б) $2^{\sqrt{13-x^2}}=\sqrt2\cdot\sqrt{32}$; в) $3^x\cdot(\frac13)^{\sqrt{x+1}}=243$; г) $(0{,}1^{\sqrt{x+1}})^{\sqrt{x+6}}=\frac1{10^6}$.

Accepted Answer

а) Область определения: $x\ge1$. Запишем обе части как степени числа 3: $3^{3\sqrt{x-1}}=3^{(x+1)/2}$. Получаем $6\sqrt{x-1}=x+1$. Положим $t=\sqrt{x-1}\ge0$; тогда $t^2-6t+2=0$, откуда $t=3\pm\sqrt7$. Следовательно, $x=1+t^2=17\pm6\sqrt7$.

б) Правая часть равна $\sqrt{64}=8=2^3$. Поэтому $\sqrt{13-x^2}=3$, откуда $x^2=4$ и $x=\pm2$.

в) Область определения: $x\ge-1$. Перепишем уравнение как $3^{x-\sqrt{x+1}}=3^5$. Положив $t=\sqrt{x+1}\ge0$, получаем $t^2-t-6=0$. Допустимый корень — $t=3$, значит, $x=8$.

г) Область определения: $x\ge-1$. Левая часть равна $0{,}1^{\sqrt{(x+1)(x+6)}}$, а правая — $0{,}1^6$. Значит, $(x+1)(x+6)=36$, то есть $x^2+7x-30=0$. Корни — 3 и −10, но условию области определения удовлетворяет только 3.

Ответ: а) $17\pm6\sqrt7$; б) $\pm2$; в) 8; г) 3.

40.12. Решите уравнения: а) \(27^{\sqrt{x-1}}=\sqrt{9^{x+1}}\); б) \(2^{\sqrt{13-x^2}}=\sqrt2\cdot\sqrt{32}\); в) \(3^x\cdot(\frac13)^{\sqrt{x+1}}=243\); г) \((0{,}1^{\sqrt{x+1}})^{\sqrt{x+6}}=\frac1{10^6}\).

Ответ: